向量什么叫做投影

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向量的投影是指将一个向量映射到另一个向量空间中，使得新向量与原向量在新的向量空间中的投影长度相等。这种映射可以通过计算两个向量的点积来实现，即： $P = A \TIMES B$ 其中，$A$ 是原向量，$B$ 是目标向量空间中的向量。

向量的投影是指将一个向量在另一个向量方向上的分量进行缩放，使得新的向量与原向量垂直。具体来说，如果有一个向量 $\VEC{A} = (A_1, A_2, \LDOTS, A_N)$ 和一个非零标量 $K$，那么 $\VEC{A}$ 在 $\VEC{B}$ 方向上的投影可以表示为： $$ \TEXT{PROJ}_{\VEC{B}} \VEC{A} = K \CDOT \FRAC{\VEC{A} \CDOT \VEC{B}}{|\VEC{B}|^2} $$ 其中，$\VEC{A} \CDOT \VEC{B}$ 是向量 $\VEC{A}$ 和 $\VEC{B}$ 的点积，$|\VEC{B}|$ 是 $\VEC{B}$ 的模长。这个投影向量 $\VEC{P}$ 满足： $$ \VEC{P} = K \CDOT \FRAC{\VEC{A} \CDOT \VEC{B}}{|\VEC{B}|^2} $$ 并且 $\VEC{P}$ 与 $\VEC{B}$ 垂直，即 $\VEC{P} \CDOT \VEC{B} = 0$。

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向量的投影是指从一个向量空间中，将一个向量映射到另一个向量空间中的对应向量的过程。这个过程可以看作是将原向量在新的向量空间中的分量进行缩放和平移。设有一个向量空间$\MATHBB{V}$和一个子空间$\MATHBB{W}$，以及一个向量$V \IN \MATHBB{V}$。那么，向量$V$在子空间$\MATHBB{W}$上的投影可以表示为： $$\TEXT{PROJ}{\MATHBB{W}}(V) = \FRAC{\SUM{W \IN \MATHBB{W}} W \CDOT V}{\SUM_{W \IN \MATHBB{W}} W^2} \CDOT W$$ 其中，$W$是$\MATHBB{W}$中的一个非零向量，$\CDOT$表示点积（内积），$\SUM$表示求和。这个投影向量$\TEXT{PROJ}_{\MATHBB{W}}(V)$在$\MATHBB{W}$中的分量与原始向量$V$在$\MATHBB{W}$中的分量相同，但是其长度被缩放到了1。这意味着，通过投影，我们可以得到一个新的向量，它的长度等于1，方向保持不变。

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